Donat el sistema lineal següent:

(és a dir, λ₁ = a + i b, λ₂ = a - i b. Els vectors propis s'ordenen igual, el primer associat a λ₁  (K₁) i el segon a λ₂ ) 

2) I els seus vectors propis associats

	1  ±  i
±  i

3) La solució general és

x(t) =  exp(t) ( B₁ [cos(t) + sin(t)] + B₂ [cos(t) + sin(t)] )

y(t) =  exp(t)  ( B₁ [cos(t) + sin(t)] + B2 [ cos(t) +  sin(t) ] ) 

Troba la solució general del sistema d'edos lineal següent:

\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{dx}{dt} = 2x - 7y \vspace{2mm}\\ \displaystyle \frac{dy}{dt} = 5x + 10y + 4z \vspace{2mm}\\ \displaystyle \frac{dz}{dt} = 5y +2z \end{array} \right.

a) Troba els valors propis del sistema (dona'ls en ordre creixent, λ₁≤ λ₂≤ λ₃)

No escriguis parèntesis, les respostes han de ser numèriques.

		-4
K1 =		K2 =	3	K3 =
					5

Amb el mètode d'Euler implícit, troba el valor de la variable de progrés de reacció c(t) en funció del temps, descrita per l'equació

\displaystyle \frac{dc}{dt} = \omega c^n (1-c)

que pren el valor c = 0 en presència de reactants frescos, mentre que c és igual a 1 quan s'han cremat.

Un model senzill de propagació d'una flama ve descrit per l'equació diferencial

y' = 3y² - y³     amb y(0) = 1/A

a) Troba els punts crítics i digues de quin tipus són

El punt y=0 és un node 

El punt y= és un node 

b) Integra l'equació analíticament,

i) ii) iii) iv) v)	i)  \displaystyle -\frac{1}{3y} - \frac19 \ln ({3-y}) = t + C
ii)  \displaystyle -\frac{1}{3y} + \frac19 \ln({3-y}) + \frac19 \ln y = t + C
iii)  \displaystyle -\frac{1}{3y} - \frac19 \ln \frac{y}{3-y} = t + C
iv) \displaystyle -\frac{1}{3y} - \frac19 \ln \left(\frac{3}{y} -1\right) = t + C
v)  \displaystyle \frac{1}{3y} + \frac13 \ln ({3-y}) = t + C

C =

c) Per a A gran, el problema és stiff. Integra l'equació per a A =10⁵ amb el mètode d'Euler implícit i h=10³. Omple la taula següent: 

Utilitza el mètode d'Euler implícit per integrar el problema de valor inicial següent:

y' = - 0.02 y^3 x^2 + 10 y^2 ; \; y(0) = 0.1

a) completa la taula següent amb el pas d'integració h indicat (dóna quatre xifres significatives): 

b) Integra el mateix problema amb un Euler explícit, i observa els canvis a mesura que redueixes el pas d'integració. Emplena la taula trobant empíricament el pas d'integració màxim (només interessa  l'ordre de magnitud: 0.1, 0.01, o 0.001, etc) perquè el mètode sigui estable.

Un tanc hemisfèric de radi R està obert a l’atmosfera i s’omple d’aigua amb un cabal Q = 0.015 m³ /min. Inicialment té 10 cm d'alçada d'aigua. A més a més, l’evaporació fa que perdi aigua amb una taxa proporcional a la superfície lliure del tanc. L’equació diferencial que descriu la variació de l’alçada y de l’aigua en el tanc en funció del temps és

\large \displaystyle\frac{dy}{dt}= \frac{Q}{\pi y (2R-y)} -k

on k = 8 × 10⁻⁴ m/min i el radi de l’hemisferi és R=2 m. 

a) De quin tipus és l'equació diferencial que descriu l'emplenat del tanc?

• Si k=0, l'edo té (digues el nombre)  punts crítics.
• Si k no és 0, l'edo té
          punts crítics si R²>Q/πk, i
           punts crítics si R²<Q/πk

a) Pren un pas de h = 1 (min) i completa la taula següent (dóna quatre xifres significatives).

b) Si no hi hagués evaporació, quan s’ompliria el tanc? 

t = min

c) En aquest moment, però amb evaporació, quina és l’alçada y de l’aigua dins del tanc?

y = m 

Un tanc hemisfèric de radi R està obert a l’atmosfera i s’omple d’aigua amb un cabal Q = 0.015 m³ /min. Inicialment té 10 cm d'alçada d'aigua. A més a més, l’evaporació fa que perdi aigua amb una taxa proporcional a la superfície lliure del tanc. L’equació diferencial que descriu la variació de l’alçada y de l’aigua en el tanc en funció del temps és

\large \displaystyle\frac{dy}{dt}= \frac{Q}{\pi y (2R-y)} -k

on k = 8 × 10⁻⁴ m/min i el radi de l’hemisferi és R=2 m. 

a) De quin tipus és l'equació diferencial que descriu l'emplenat del tanc?

• Si k=0, l'edo té (digues el nombre)  punts crítics.
• Si k no és 0, l'edo té
          punts crítics si R²>Q/πk, i
           punts crítics si R²<Q/πk

a) Pren un pas de h = 1 (min) i completa la taula següent (dóna quatre xifres significatives).

b) Si no hi hagués evaporació, quan s’ompliria el tanc? 

t = min

c) En aquest moment, però amb evaporació, quina és l’alçada y de l’aigua dins del tanc?

y = m 

La població y d'una espècie de peixos en una certa regió obeeix al model següent:

\displaystyle \frac{dy}{dt} = ay - by^2 - P

on ay representa la taxa de creixement natural (creixement menys mortaldat), by² representa  un terme de comsumpció degut a la superpoblació, i P és el terme que dóna compte de l'explotació dels peixos, és a dir, de la pesca. Pren a=11, b=1 (en anys ^-1).

a) si es pesca una taxa de P= 31 tones/any, utilitza l'analisi dels punts crítics de l'equació per determinar si amb aquest ritme de pesca es pot mantenir la població de peixos- no desapareixen. Quin és el signe de y'? 

Els punts crítics són:

La derivada y' : 

A la vista dels resultats anteriors la població de peixos : 

b) Utilitza la condició inicial y(0)=20 tones, pren un pas de h=0.01 (anys) i completa la taula següent. Dóna quatre xifres significatives. 

c) Digues quan s'acabarien els peixos amb aquest ritme de pesca. Utilitza el pas d'integració i el mètode que creguis convenient. 

S'acabarien els peixos als anys. 

d) Després de dos anys de pescar a un ritme de P=31 tones/any, les autoritats reduixen la pesca a la meitat. Es recuperarà la població de peixos? Quin és el valor estacionari de y? 

El valor estacionari al que s'arribarà és

L’equació que descriu l’alçada y d’aigua en un tanc esfèric que es buida per gravetat a través d’un orifici al fons és

\displaystyle \pi y (2R-y) \frac{dy}{dt} = -C_d A \sqrt{2gy}, \quad y\ge 0

on g és l'acceleració de la gravetat, R és el radi del tanc, A la secció de l'orifici i Cd el coeficient de descàrrega. Al principi, el tanc té 4m d'alçada d'aigua. 

Pren R = 2.5 m, Cd = 0.5, i 3 cm per al radi de l’orifici.

a) De quin tipus és l'equació diferencial que descriu el buidat del tanc? (tria 1 resposta, però pot haver-hi més d'una de correcta)  

Té punts crítics l'equació?

b) Integra l’equació analı́ticament. Quina és la solució, en funció de la constant arbitrària?

	1)
	2)
1) 2) 3) 4) Cap	3)
	4)

c) Utilitza el mètode d’Euler per trobar en quin instant el tanc

• estarà mig buit: t =   s
• s'haurà buidat completament: t =   s

d) Pren un pas de h = 1s i completa la taula següent (dóna quatre xifres significatives).

L’equació que descriu l’alçada y d’aigua en un tanc esfèric que es buida per gravetat a través d’un orifici al fons és

\displaystyle \pi y (2R-y) \frac{dy}{dt} = -C_d A \sqrt{2gy}, \quad y\ge 0

on g és l'acceleració de la gravetat, R és el radi del tanc, A la secció de l'orifici i Cd el coeficient de descàrrega. Al principi, el tanc té 4m d'alçada d'aigua. 

Pren R = 2.5 m, Cd = 0.5, i 3 cm per al radi de l’orifici.

a) De quin tipus és l'equació diferencial que descriu el buidat del tanc? (tria 1 resposta, però pot haver-hi més d'una de correcta)  

Té punts crítics l'equació?

b) Integra l’equació analı́ticament. Quina és la solució, en funció de la constant arbitrària?

	1)
	2)
1) 2) 3) 4) Cap	3)
	4)

c) Utilitza el mètode d’Euler per trobar en quin instant el tanc

• estarà mig buit: t =   s
• s'haurà buidat completament: t =   s

d) Pren un pas de h = 1s i completa la taula següent (dóna quatre xifres significatives).