La segona derivada de P_n(x) = a_0 + a_1 \, (x-a) + a_2 \, (x-a)^2 + \dots + a_n\, (x-a)^n , és

En l'expressió del polinomi de Taylor  P_n(x) = a_0 + a_1 \, (x-a) + a_2 \, (x-a)^2 + \dots + a_n\, (x-a)^n , 

el valor de n és

L'expressió de la sèrie de Taylor de la funció (infinitament) diferenciable f(x)  entorn d'un punt x=a és 

Un tanc cilı́ndric de radi R i longitud L que conté aigua es buida per gravetat a través d’un orifici circular que hi ha al fons. Inicialment es troba ple fins un 90% del seu nivell màxim . L’equació diferencial que descriu la variació de l’alçada y de l’aigua en el tanc en funció del temps és

\displaystyle\frac{dy}{dt} = - \frac{C A R}{2L} \sqrt{\frac{2}{\rho}} \sqrt{\frac{\Delta p

+

\rho g y}{y(2R-y)}}

on C és el coeficient de descàrrega, A l’àrea de l’orifici, i ∆p la sobrepressió que hi ha al tanc, que suposarem que es manté constant.

Dades: C=0.5, diàmetre de l’orifici D=3 cm, R=3 m, L= 10 m, ρ=1000 kg/m³.

a) De quin tipus és l'equació diferencial que descriu el buidat del tanc? (tria 1 resposta, però pot haver-hi més d'una de correcta)

Té punts crítics l'equació?

b) Si el tanc és obert a l'atmosfera (∆p = 0), integra l’equació analı́ticament. Quina és la solució, en funció de la constant arbitrària?

	1)
	2)
1) 2) 3) 4) Cap	3)
	4)

c) Si ∆p = 2·10⁵ Pa, utilitza el mètode d’Euler amb un pas d'integració de h=100 s per completar la taula següent:  (dóna quatre xifres significatives).

d) Quant de temps es necessita perquè el tanc pressuritzat es buidi completament? s

    En aquest moment, quina seria l'alçada d'aigua en el tanc si fos obert?   m

    Modifica el valor de ∆p i observa el comportament de la solució. Quina pressió  ∆p haurı́em d’aplicar perquè el tanc es buidés en 2 hores com a màxim? (2 xifres significatives) Pa

Sigui la funció f(x) = 1/\cos 2x . Amb mapple app o una eina similar, desenvolupa-la entorn de x=0 fins a ordre 4 i escriu el valor dels coeficients que han de multiplicar  els factors xⁿ / n! :

f(x) ≈  + x +  x²/2! +  x³/3! + x⁴/4!

L'expansió en sèrie de Taylor ...

La primera derivada de P_n(x) = a_0 + a_1 \, (x-a) + a_2 \, (x-a)^2 + \dots + a_n\, (x-a)^n respecte de x, en  x=a és

Si  P_n(x)  és el polinomi de grau n que aproxima la funció  f(x) entorn d'un punt x=a , 

Utilitza l'app de maple per al mòbil com recomana el video (o qualsevol altra eina equivalent) per calcular la quarta derivada de la funció ln(1+sin x). Substitueix en x=0:

Donada l'equació diferencial

(x² + y² + k) dx + (y +xy) dy = 0

on k és un paràmetre real,

a) digues si és d'algun o d'alguns d'aquests tipus

És una equació homogènia?

És separable?

És lineal?

És autònoma?

b) Examina la possibilitat que sigui exacta. Identifica M(x,y) i N(x,y) de la forma implícita Mdx + Ndy = 0  i respon

c) Digues per a quin valor de m, (x+m) és un factor integrant de l'equació:

m =

d) Amb el valor de m que has determinat, utilitza el factor integrant per trobar la solució de  l'equació diferencial.

 La solució és

 e) Digues quina és la corba solució que passa pel punt (0,1):

És la determinada per C =