Considerem un problema de reacció i difusió en una partícula esfèrica de catalitzador, on se suposa que la reacció química segueix la cinètica de Langmuir-Hinselwood. El balanç de matèria del reactiu en el catalitzador ve donat per l'equació: 

\displaystyle \frac{1}{x^2} \frac{d}{dx}\left( x^2\frac{dy}{dx}\right) - \phi^2

\frac{y}{1+\beta y+\gamma y^2} = 0

amb les condicions de contorn y(0)<∞, y(1) =1. Degut a aquesta condició de contorn natural en x=0 (el centre de la partícula esfèrica), per a la resolució numèrica és més convenient de prendre l'equació per a la variable u ≡xy:

u'' - \phi^2 \displaystyle \frac{u}{1+\beta u/x+\gamma u^2/x^2} = 0

amb les condicions de contorn u(0)=0, u(1)=1. Prenent ø² =8, β=1 i γ=1, resol aquesta darrera equació, ja sigui amb un procediment en diferències finites o amb bvp4c per a u(x), i finalment troba y(x), desfent el canvi de variable.

Completa la taula següent:

Quina és la concentració y de reactiu en x=0? (fes una gràfica de y(x) i pren el límit, aproximadament, fent un zoom al voltant de x=0) 

Considerem un problema de reacció i difusió en una partícula esfèrica de catalitzador, on se suposa que la reacció química segueix la cinètica de Langmuir-Hinselwood. El balanç de matèria del reactiu en el catalitzador ve donat per l'equació: 

\displaystyle \frac{1}{x^2} \frac{d}{dx}\left( x^2\frac{dy}{dx}\right) - \phi^2

\frac{y}{1+\beta y+\gamma y^2} = 0

amb les condicions de contorn y(0)<∞, y(1) =1. Degut a aquesta condició de contorn natural en x=0 (el centre de la partícula esfèrica), per a la resolució numèrica és més convenient de prendre l'equació per a la variable u ≡xy:

u'' - \phi^2 \displaystyle \frac{u}{1+\beta u/x+\gamma u^2/x^2} = 0

amb les condicions de contorn u(0)=0, u(1)=1. Prenent ø² =8, β=1 i γ=1, resol aquesta darrera equació, ja sigui amb un procediment en diferències finites o amb bvp4c per a u(x), i finalment troba y(x), desfent el canvi de variable.

Completa la taula següent:

Quina és la concentració y de reactiu en x=0? (fes una gràfica de y(x) i pren el límit, aproximadament, fent un zoom al voltant de x=0) 

Un bloc de tungstè de gruix L es troba sotmès a una diferència de temperatura entre els dos extrems. El problema de contorn queda definit per l’equació de transport de calor estacionària,

amb les condicions T(x=0) = 1700, T(x=L) = 300 (K)

on k és la conductivitat tèrmica del material. Escriu un procediment en diferències finites per resoldre aquest problema de contorn. Considera dos casos:

a) La conductivitat k és constant, surt fora de la derivada i l'edo no hi depèn. Completa la taula següent, per al nombre d'intervals n=50 i amb una tolerància de 10^-5 (dóna quatre xifres significatives):

b) En el rang de temperatures de treball, la conductivitat depèn de T, i k  es pot descriure per la correlació

\ln k = \ln A + B \,\ln T + C\,T + D/T

on A, B, C, D són constants:

que donen k en W·m⁻¹ ·K⁻¹ , si T es d ́ona en Kelvin. 

1. Desenvolupa la derivada del producte  k·dT/dx del primer membre de l’equació.
   (Per calcular dk/dx en cada punt, fes dk/dx = dk/dT · dT/dx) 
2. Deriva dk/dT explícitament a partir de la correlació: 
   \frac{1}{k} \, \frac{dk}{dT} = \frac{B}{T} + C - \frac{D}{T^2}
3. Per a l'aproximació numérica de la derivada primera, dT/dx, utilitza una aproximació del mateix ordre que la de d²T/dx² 

Per evitar ln(0) al principi de la iteració, inicialitza el camp de temperatura dels nodes interiors amb ones i no amb zeros. 

d) De quin tipus és l'aproximació numèrica per a la derivada primera dT/dx?

Un mur de formigó (conductivitat tèrmica k=1.32 W / (m·K)) es troba a una temperatura de T₀=25°C en el seu interior. El mur té un gruix de L= 0.4 m. En la part exterior, la temperatura llunyana és T_∞= -15 °C i hi ha transport de calor per convecció forçada (H=10 W / (m²·K)). L'equació de transport de calor a la paret és:

\displaystyle \frac{d^2 T}{dx^2} =0  

i les condicions de contorn s'escriuen:

k \displaystyle \frac{dT}{dx} - H (T-T_{\infty}) = 0	en x=0
T=T_0	en x=L

a) Planteja un procediment en diferències finites per trobar la temperatura i completar la taula següent, per a diferents valors del nombre d'intervals n i amb una tolerància de 10^-5 (dóna quatre xifres significatives)

y'(x) = [-y(x+2h) + 4T(x+h) -3y(x) )]/ 2h + O(h²)  per al terme en dT/dx. És a dir,

T '₁ = [-3T₁ + 4T2 - T₃]/ 2h + O(h²)

b) De quin tipus és l'aproximació numèrica per a la derivada segona y'' que cal utilitzar?

c) De quin tipus és l'aproximació numèrica per a la condició de contorn en x=0?

Un mur de formigó (conductivitat tèrmica k=1.32 W / (m·K)) es troba a una temperatura de T₀=25°C en el seu interior. El mur té un gruix de L= 0.4 m. En la part exterior, la temperatura llunyana és T_∞= -15 °C i hi ha transport de calor per convecció forçada (H=10 W / (m²·K)). L'equació de transport de calor a la paret és:

\displaystyle \frac{d^2 T}{dx^2} =0  

i les condicions de contorn s'escriuen:

k \displaystyle \frac{dT}{dx} - H (T-T_{\infty}) = 0	en x=0
T=T_0	en x=L

a) Planteja un procediment en diferències finites per trobar la temperatura i completar la taula següent, per a diferents valors del nombre d'intervals n i amb una tolerància de 10^-5 (dóna quatre xifres significatives)

y'(x) = [-y(x+2h) + 4T(x+h) -3y(x) )]/ 2h + O(h²)  per al terme en dT/dx. És a dir,

T '₁ = [-3T₁ + 4T2 - T₃]/ 2h + O(h²)

b) De quin tipus és l'aproximació numèrica per a la derivada segona y'' que cal utilitzar?

c) De quin tipus és l'aproximació numèrica per a la condició de contorn en x=0?

Un bloc de níquel de L=0.35 (m) de gruix es troba sotmès a una diferència de temperatura entre els dos extrems. El problema de contorn queda definit per l’equació de transport de calor estacionària,

amb les condicions T(x=0) = 1000, i T(x=L) = 100;

on k és la conductivitat tèrmica del material. Escriu un procediment en diferències finites per resoldre aquest problema de contorn. Considera dos casos:

a) La conductivitat k és constant, surt fora de la derivada i l'edo no hi depèn. Completa la taula següent, per al nombre d'intervals n=50 i amb una tolerància de 10^-5 (dóna quatre xifres significatives)

b) En el rang de temperatures de treball, la conductivitat depèn de T, i  k  es pot descriure per la correlació

\ln k = \ln A + B \,\ln T + C\,T + D/T  

on A, B, C, D són constants:

que donen k en W·m⁻¹ ·K⁻¹ , si T es d ́ona en Kelvin.

Per utilitzar la correlació per a k:

1. Desenvolupa la derivada del producte k·dT/dx del primer membre de l’equació.
   (Per calcular dk/dx en cada punt, fes dk/dx = dk/dT · dT/dx) 
2. Deriva dk/dT explícitament a partir de la correlació: 
   \frac{1}{k} \, \frac{dk}{dT} = \frac{B}{T} + C - \frac{D}{T^2}
3. Utilitza una aproximació del mateix ordre que la de d²T/dx² per a l'aproximació numérica de la derivada primera, dT/dx.

Per evitar ln(0) al principi de la iteració, inicialitza el camp de temperatura dels nodes interiors amb ones i no amb zeros.

c) De quin tipus és l'aproximació numèrica per a la derivada segona d²T/dx² que cal utilitzar?

d) De quin tipus és l'aproximació numèrica per a la derivada primera dT/dx?

Calcula els punts crítics de l'equació

        \displaystyle \frac{dy}{dx}=-y \sqrt{y^2-1}

i digues:

a)

1)	2)
3)	4)

Un oscil·lador 

està sotmès a la força periòdica F(t) donada per

n=0, 1, 2, 3...

a) Defineix adequadament les variables y₁, y₂, i escriu el sistema d'edos de primer ordre equivalent a l'equació de segon ordre (les respostes són cadenes de caràcters).

y1 ≡	→	y1' =
y2 ≡ ;	y2' =

b) Integra el sistema numèricament per a   ω=1, amb les condicions inicials x(0)=x'(0) =0. Emplena amb 4 xifres significatives, els valors de la taula següent. 

Utilitza RK2 amb un pas d'integració de 10^-3.

És important, per definir la força F(t), referir el temps t al primer periode (n=0), ja que els valors de F(t) es van repetint a intervals de 1 s. 

Si no, caldria fer un if else molt llarg, amb un codi llarguíssim i inútil. Per contra, tot això es pot fer d'una forma eficient amb un únic IF / ELSE, si utilitzes la funció rem de MATLAB:  rem(t,1) dóna el residu de dividir t entre 1.  

Per exemple, si t=3.26: rem(t,1)=0.26. 

I si t=3.999: rem(t,1)=0.999. 

Prova-ho. Aleshores, rem(t,1) és un valor que queda sempre entre 0 i 1, i amb això pots reduir el valor de F(t) en qualsevol interval n al valor que pren al primer periode (n=0). Avalua amb un if la condició de quant val rem(t,1), si menys de 0.5 , o més de 0.5, i assigna-li el valor de F en cada cas.

Un home en un caiac és arrossegat pel vent i lel corrent amb una velocitat (adimensional) de valor 0.5 allunyant-se de la costa. En un cert moment, a una distància (adimensional) de 200 de la costa, l'home comença a palejar en direcció contrària al moviment que duu el caiac amb una força constant F, amb la intenció de tornar a la platja. L'equació que descriu l'evolució de la velocitat en funció del temps és

\displaystyle\frac{dv}{dt} = -F + b (v-0.5)^2   

b) Pren F=2 i b=0.5, i integra amb un mètode addient per omplir la taula següent. Dóna quatre xifres significatives (experimenta amb el pas d'integració perquè els resultats tinguin la precisió requerida):

c) Respon les preguntes següents:

Un home en un caiac és arrossegat pel vent i el corrent amb una velocitat (adimensional) de 0.25  allunyant-se de la costa. En un cert moment, a una distància (adimensional) de 150 de la costa l'home comença a palejar en direcció contrària al moviment que duu el caiac amb una força constant F, amb la intenció de tornar a la platja. L'equació que descriu l'evolució de la velocitat en funció del temps és

\displaystyle\frac{dv}{dt} = -F + b (v-0.25)^2   

b) Pren F=5, b=0.4 i integra amb un mètode addient per omplir la taula següent. Dóna quatre xifres significatives (experimenta amb el pas d'integració perquè els resultats tinguin la precisió requerida):

c) Respon les preguntes següents: