Un bloc de níquel de L=0.35 (m) de gruix es troba sotmès a una diferència de temperatura entre els dos extrems. El problema de contorn queda definit per l’equació de transport de calor estacionària,

amb les condicions T(x=0) = 1000, i T(x=L) = 100;

on k és la conductivitat tèrmica del material. Escriu un procediment en diferències finites per resoldre aquest problema de contorn. Considera dos casos:

a) La conductivitat k és constant, surt fora de la derivada i l'edo no hi depèn. Completa la taula següent, per al nombre d'intervals n=50 i amb una tolerància de 10^-5 (dóna quatre xifres significatives)

b) En el rang de temperatures de treball, la conductivitat depèn de T, i  k  es pot descriure per la correlació

\ln k = \ln A + B \,\ln T + C\,T + D/T  

on A, B, C, D són constants:

que donen k en W·m⁻¹ ·K⁻¹ , si T es d ́ona en Kelvin.

Per utilitzar la correlació per a k:

1. Desenvolupa la derivada del producte k·dT/dx del primer membre de l’equació.
   (Per calcular dk/dx en cada punt, fes dk/dx = dk/dT · dT/dx) 
2. Deriva dk/dT explícitament a partir de la correlació: 
   \frac{1}{k} \, \frac{dk}{dT} = \frac{B}{T} + C - \frac{D}{T^2}
3. Utilitza una aproximació del mateix ordre que la de d²T/dx² per a l'aproximació numérica de la derivada primera, dT/dx.

Per evitar ln(0) al principi de la iteració, inicialitza el camp de temperatura dels nodes interiors amb ones i no amb zeros.

c) De quin tipus és l'aproximació numèrica per a la derivada segona d²T/dx² que cal utilitzar?

d) De quin tipus és l'aproximació numèrica per a la derivada primera dT/dx?