Soit un Lagrangien {\cal L}(v,q) défini de V\times R^M dans R.

Le lemme de dualité faible affirme que:

On considère le problème de minimisation

\inf_{v\in K} J(v) \quad \text{ avec } \quad K=\{v\in V, \ F(v)\leq0 \}

où F(v) =(F_1(v),...,F_M(v)) est une fonction de V dans R^M. Pour un point de minimum local u\in K, on écrit la condition d'optimalité avec un multiplicateur de Lagrange \lambda\in R^M.

Donner la bonne condition qui permet d'affirmer qu'une fonction J d'un espace de Hilbert V dans R est différentiable  au sens de Fréchet.

Lorsque l'on minimise une fonction différentiable J d'un espace de Hilbert V dans R sur un ensemble convexe K\subset V, un point de minimum u\in K vérifie l'inéquation d'Euler qui s'écrit

\langle J'(u) , v-u \rangle \geq 0 \quad \text{ pour tout } v\in K

Cochez toutes les affirmations correctes ci-dessous. 

Une fonction convexe vérifie une ou plusieurs des propriétés ci-dessous. Cocher toutes les bonnes réponses:

On considère le problème d'optimisation sous contrainte d'égalité

\inf_{F(v)=0} J(v)

où J est une fonction d'un espace de Hilbert V dans R et F est une fonction de V dans R^M.

Une condition d'optimalité en un point de minimum local u\in V s'écrit

J^\prime(u)+\sum^M_{i=1}\,\lambda_iF^\prime_i(u)=0

où les réels \lambda_i sont les multiplicateurs de Lagrange.

Quelle est la condition suffisante parmi celles ci-dessous qui permet d'affirmer la véracité de cette condition d'optimalité ?

Soit la fonction de R^n dans R définie par

J(x) = \frac12 Ax\cdot x - b\cdot (Bx )

où A est une matrice symétrique, B est une matrice quelconque et b\in R^n.

Sa dérivée est:

Une fonction convexe, définie sur tout l'espace et localement bornée, peut ne pas être continue.

Pour une fonction convexe, définie sur tout l'espace, il n'y a pas de différence entre un minimum local et un minimum global.

Soit K un sous-ensemble non-vide et borné de R^n. Soit J une fonction continue sur R^n.

Il existe toujours un point de minimum u\in K de J sur K, c'est-à-dire que 

J(u) \leq J(v) \quad \forall v\in K .