Qu'est ce qu'une méthode de pénalisation intérieure en optimisation sous contraintes ?

Qu'appelle-t-on algorithme du Lagrangien augmenté ?

On considère le carré unité fermé K dans R^2

, défini par

Sélectionner la formule pour l'opérateur P_K de projection orthogonale sur K.

Pour une matrice A symétrique réelle, définie positive de taille N \times N, soit le Lagrangien défini pour (v,q) \in R^N \times R^N par

{\cal L}(v,q) = \frac12 Av\cdot v - q\cdot v

On dit que la fonction "primale" pour ce Lagrangien est J(v)= \frac12 Av\cdot v.

Mais quelle est la fonction "duale" ?

Pour une variable réelle x, on définit la fonction

J(x) = \max(4-x , 3x)

Quel est le sous-différentiel de J au point x=1 ?

On applique l'algorithme du gradient à pas fixe à la fonction d'une seule variable réelle x\in R

J(x) = \frac32 x^2

Quel est l'ensemble de toutes les valeurs du pas, noté \mu, pour lesquelles l'algorithme converge (quelque soit l'initialisation) ?

On applique l'algorithme de Newton à la minimisation de la fonction suivante

J(x) = \frac12 Ax\cdot x - b\cdot x

où b et x sont des vecteurs dans R^N et A est une matrice N\times N symétrique définie positive.

Cochez l'affirmation qui est la plus pertinente à propos de la convergence de cet algorithme dans ce cas particulier.

On considère le problème de minimisation

\inf_{v\in K} J(v) \quad \text{ avec } \quad K=\{v\in V, \ F(v)\leq0 \}

où F(v) =(F_1(v),...,F_M(v)) est une fonction de V dans R^M. 

Qu'appelle-t-on une contrainte active en un point u\in K ?

On rappelle que, pour une fonction dérivable J(x) de R^N dans R, on dit que sa dérivée est globalement Lipschitzienne s'il existe une constante L telle que, pour tout x,y \in R^N,

\|J'(x)-J'(y)\| \leq L \|x-y\|

Cochez les assertions vraies ci-dessous.

On applique l'algorithme du gradient à pas fixe \mu > 0 à la minimisation de la fonction

J(x) = A x \cdot x - b\cdot x

où A est une matrice symétrique définie positive et b , x sont des vecteurs de R^N.

Quelle est la bonne formule d'itération de l'algorithme ?