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APM_43035_EP - Optimisation et Contrôle (2024-2025)

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Qu'est ce qu'une méthode de pénalisation intérieure en optimisation sous contraintes ?

C'est une méthode où la pénalisation force à rentrer à l'intérieur de l'ensemble admissible lorsqu'on est à l'extérieur.

C'est une méthode où le terme de pénalisation est nul si on est à l'intérieur de l'ensemble admissible.

C'est le contraire d'une méthode de pénalisation extérieure.

C'est une méthode où la pénalisation force à rester strictement à l'intérieur de l'ensemble admissible.

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Qu'appelle-t-on algorithme du Lagrangien augmenté ?

Il s'agit d'un algorithme où on augmente le nombre d'itérations avant convergence.

Il s'agit d'un algorithme pour un Lagrangien auquel on a ajouté un terme de pénalisation des contraintes.

Il s'agit d'un algorithme où on augmente la valeur du multiplicateur de Lagrange.

Il s'agit d'un algorithme où on pénalise l'augmentation du multiplicateur de Lagrange.

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On considère le carré unité fermé K dans R^2

, défini par

$K = \{ (x_1,x_2) \in R^2 \text{ tel que } \max(|x_1|,|x_2|) \leq \frac12 \} .$ K = \{ (x_1,x_2) \in R^2 \text{ tel que } \max(|x_1|,|x_2|) \leq \frac12 \} .

Sélectionner la formule pour l'opérateur P_K de projection orthogonale sur K.

Il n'y a pas de formule explicite pour P_K.

P_K(x_1,x_2) = (y_1,y_2) avec la définition suivante pour i=1,2:

$y_i = \left\{ \begin{array}{ll} x_i & \text{si } |x_i| \leq \frac12 \\ \frac12 & \text{si } x_i > \frac12 \\ -\frac12 & \text{si } x_i < -\frac12 \end{array} \right.$

y_i = \left\{ \begin{array}{ll}

x_i & \text{si } |x_i| \leq \frac12 \\

\frac12 & \text{si } x_i > \frac12 \\

-\frac12 & \text{si } x_i < -\frac12

\end{array} \right.

✅

P_K(x_1,x_2) = (y_1,y_2) avec la définition suivante pour y:

$y = \left\{ \begin{array}{ll} x & \text{si } x\in K \\ \frac12 \frac{x}{max(|x_1|,|x_2|)} & \text{si } x \in R^2\setminus K \end{array} \right.$

y = \left\{ \begin{array}{ll}

x & \text{si } x\in K \\

\frac12 \frac{x}{max(|x_1|,|x_2|)} & \text{si } x \in R^2\setminus K

\end{array} \right.

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Pour une matrice A symétrique réelle, définie positive de taille $N \times N$ N \times N, soit le Lagrangien défini pour $(v,q) \in R^N \times R^N$ (v,q) \in R^N \times R^N par

${\cal L}(v,q) = \frac12 Av\cdot v - q\cdot v$

{\cal L}(v,q) = \frac12 Av\cdot v - q\cdot v

On dit que la fonction "primale" pour ce Lagrangien est $J(v)= \frac12 Av\cdot v$ J(v)= \frac12 Av\cdot v.

Mais quelle est la fonction "duale" ?

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Pour une variable réelle x, on définit la fonction

$J(x) = \max(4-x , 3x)$

J(x) = \max(4-x , 3x)

Quel est le sous-différentiel de J au point x=1 ?

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On applique l'algorithme du gradient à pas fixe à la fonction d'une seule variable réelle $x\in R$ x\in R

$J(x) = \frac32 x^2$

J(x) = \frac32 x^2

Quel est l'ensemble de toutes les valeurs du pas, noté $\mu$ \mu, pour lesquelles l'algorithme converge (quelque soit l'initialisation) ?

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On applique l'algorithme de Newton à la minimisation de la fonction suivante

$J(x) = \frac12 Ax\cdot x - b\cdot x$

J(x) = \frac12 Ax\cdot x - b\cdot x

où b et x sont des vecteurs dans R^N et A est une matrice $N\times N$ N\times N symétrique définie positive.

Cochez l'affirmation qui est la plus pertinente à propos de la convergence de cet algorithme dans ce cas particulier.

L'algorithme converge en une seule itération.

✅

L'algorithme converge en N itérations où N est la dimension de l'espace.

L'algorithme ne converge que si l'initialisation est proche du point de minimum et dans ce cas la convergence est très rapide.

L'algorithme converge quelque soit son initialisation et très rapidement.

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On considère le problème de minimisation

$\inf_{v\in K} J(v) \quad \text{ avec } \quad K=\{v\in V, \ F(v)\leq0 \}$ \inf_{v\in K} J(v) \quad \text{ avec } \quad K=\{v\in V, \ F(v)\leq0 \}

où F(v) =(F_1(v),...,F_M(v)) est une fonction de V dans R^M.

Qu'appelle-t-on une contrainte active en un point $u\in K$ u\in K ?

Il s'agit d'une contrainte avec égalité F_i(u) = 0.

✅

Il s'agit d'un ensemble de contraintes pour lequel les vecteurs F'_i(u) forment une famille libre.

Il s'agit d'une contrainte avec inégalité stricte F_i(u) < 0.

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On rappelle que, pour une fonction dérivable J(x) de R^N dans R, on dit que sa dérivée est globalement Lipschitzienne s'il existe une constante L telle que, pour tout $x,y \in R^N$ x,y \in R^N,