Seja f uma função contínua em  \mathbb{R}^2 e uma região Rplana tal que

\displaystyle \iint_{R} f(x,y) dA=\int_{-2}^0 \int_{x^2-4}^{x+2} f(x,y) \ dy \ dx.

Então são verdadeiras as seguintes afirmações:

Considere F(x,y,z) uma função de classe C^1 em \mathbb{R}^3, que verifica F(0,1,1)=0 e \nabla F(0,1,1)=(1,-2,0).

Assinale as afirmações VERDADEIRAS.

Na figura estão representadas as curvas de nível C_k da função f(x,y)=y^2-x para os níveis k=0, 1, 2, e 3 indicados, e a curva C, definida pela equação g(x,y)=0 (a vermelho).

Assinale a(s) afirmaçõe(s) verdadeiras:

Considere a função 

f(x,y)=x^2e^y+y^3-3y.

Considere a seguinte função f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} definida por

f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{5xy^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq (0,0)\\ 0, & (x,y)= (0,0)\end{matrix} \right..

A derivada direcional de f na direção do vetor \displaystyle \vec{u}=\left(\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}\right)no ponto (0,0) é

Considere a seguinte função f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} definida por

Seja f(x,y)=xy\sin(xy), então

\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y)=

Considere um elipsoide ao qual o ponto P=(0,1,-2) pertença e cuja intersecção com o plano z=0 seja a elipse de equação x^2+2(y-1)^2=1.

Escreva a equação correspondente.

Use o Geogebra para fazer a representação gráfica. Submeta o ficheiro com a sua resposta em formato .ggb.

Represente as seguintes superfícies em \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3:

 (a) y=x^2;

 (b) x^2+y^2-2x=2.

Use o Geogebra para fazer a representação gráfica. Submeta o ficheiro com a sua resposta em formato .ggb.[Pode abrir simultaneamente a janela2D e 3D no Geogebra]

Esboce em \mathbb{R}^3 a superfície de equação 

3x^2-y^2+z^2=1.

Represente e indique as equações correspondentes às intersecções da superfície com:

 (a) o plano x=0;

 (b) o plano z=0;

 (c) os planos de equação y=a, com a=-1, \ 0, \ 2.

[Não deve usar o Geogebra neste exercício]