Diketahui R adalah relasi pada himpunan \{1,2,3,4\}, dengan

Di antara relasi berikut, manakah yang merupakan relasi terkecil yang mengandung R dan bersifat refleksif, simetri, dan transitif?

Lengkapi setiap bagian berikut terkait penutup (closure) masing-masing relasi yang diberikan.

1. Penutup refleksif dari R_1=\{(x,y) \in \mathbb {Z}\times \mathbb {Z} | x \neq y\} adalah R_1\cup S, dengan S=\{(x,y) \in \mathbb {Z}\times \mathbb {Z} | \}. Penutup refleksif R_1 juga dapat dinyatakan dalam sebuah himpunan \{(x,y) \in \mathbb {Z}\times \mathbb {Z} | x \neq y
   V

   Λ
   \}
2. Penutup simetri dari R=\{(x,y) \in \mathbb {Z}\times \mathbb {Z} | y = x\cdot c, c \in \mathbb {Z} \} dapat dinyatakan dalam sebuah himpunan \{(x,y)\in \mathbb {Z}\times \mathbb {Z} | (y=x\cdot c, c\in \mathbb {Z}) \vee ( ,d \in \mathbb {Z})\}

Update untuk penutup simetri relasi R:

\{(x,y)\in \mathbb {Z}\times \mathbb {Z} | y=x\cdot c \vee x=y\cdot c, \exists c \in \mathbb{Z} \}

Tandai semua relasi yang merupakan relasi ekivalen dengan memilih opsi yang sesuai untuk masing-masing relasi berikut.

1. R_1=\{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)\} pada himpunan A=\{0,1,2,3\}
   bukan

   merupakan
   relasi rekivalen. Sifat yang tidak dimiliki relasi R_1:
   Refleksif
   Simetri
   tidak ada
   Transitif
2. R_2=\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,2),(3,3)\} pada himpunan A=\{0,1,2,3\}
   merupakan

   bukan
   relasi rekivalen. Sifat yang tidak dimiliki relasi R_2:
   Simetri
   Refleksif
   Transitif
   tidak ada
3. R_3=\{(x,y)|x dapat mengerjakan soal yang sama dengan y\} (domain x dan y adalah mahasiswa)
   bukan

   merupakan
   relasi rekivalen. Sifat yang tidak dimiliki relasi R_3:
   Simetri
   Transitif
   Refleksif
   tidak ada
    
4. R_4=\{(x,y)|x kuliah di fakultas yang sama dengan y di UI\} (domain x dan y adalah orang)
   bukan

   merupakan
   relasi rekivalen. Sifat yang tidak dimiliki relasi R_4:
   Refleksif
   Simetri
   tidak ada
   Transitif
    

Anda diminta untuk menghitung 13^{709} \bmod 38 menggunakan algoritma pemangkatan modular dengan melengkapi proses eksekusi algoritma tersebut.

Andaikan:

• b = 13 adalah basis,
• n = 709 adalah eksponen, dan
• m = 38 adalah modulus.

Kemudian, andaikan variable x dipakai untuk menyimpan hasil akhir penghitungan.

• Inisialisasi: 

  • Eksponen  n bernilai 709 yang nilai binernya adalah
  • Nilai awal variabel  x = dan  power = 13 \bmod 38 =

• Eksekusi loop:

  • Bit ke-0 (dari kanan) dari  n adalah . Maka,  x = dan  power = .
  • Bit ke-1 (dari kanan) dari n adalah . Maka, x = dan power = .
  • Bit ke-2 (dari kanan) dari n adalah . Maka, x = dan power = .
  • Bit ke-3 (dari kanan) dari n adalah . Maka, x = dan power = .
  • Bit ke-4 (dari kanan) dari n adalah . Maka, x = dan power = .
  • Bit ke-5 (dari kanan) dari n adalah . Maka, x = dan power = .
  • Bit ke-6 (dari kanan) dari n adalah . Maka, x = dan power = .
  • Bit ke-7 (dari kanan) dari n adalah . Maka, x = dan power = .
  • Bit ke-8 (dari kanan) dari n adalah . Maka, x = dan power = .
  • Bit ke-9 (dari kanan) dari n adalah . Maka, x = .

Jadi,  13^{709} \bmod 38 = .

Pilih semua pernyataan berikut yang bernilai BENAR.

Diberikan bilangan bulat a, b, dan c di mana a \equiv 5 \pmod{17}, b \equiv 8 \pmod{17}, dan c \equiv a^2+3b \pmod{17}. Lengkapi langkah-langkah berikut untuk menentukan nilai c dalam bentuk kongruensinya dalam modulo 17.

a \equiv 5 \pmod{17}

a^2 \equiv \pmod{17} ..... (i)

b \equiv 8 \pmod{17}

3b \equiv \pmod{17} ..... (ii)

Berdasarkan (i) dan (ii),

a^2+3b \equiv \pmod{17}

Karena c \equiv a^2+3b \pmod{17}, maka dapat ditulis bahwa

c \equiv \pmod{17} *Petunjuk: Jawaban di baris ini seharusnya sama dengan jawaban di baris sebelumnya

Berdasarkan langkah perhitungan tersebut, bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi c adalah ...

Pilih semua pernyataan berikut yang bernilai BENAR.

Ada berapa banyak cara untuk menyusun 6 huruf dari kata "GARBARATA"? Langkapi penyelesaian permasalahan berikut dengan representasi fungsi pembangkit.

• Representasi fungsi pembangkit untuk pengambilan masing-masing huruf secara unik adalah sebagai berikut.

  • Huruf "G" adalah x_G = \sum_{i=0}^{a} \frac{z^i}{i!} dengan nilai a =

  • Huruf "A" adalah x_A = \sum_{i=0}^{a} \frac{z^i}{i!} dengan nilai a =

  • Huruf "R" adalah x_R = \sum_{i=0}^{a} \frac{z^i}{i!} dengan nilai a =

  • Huruf "B" adalah x_B = \sum_{i=0}^{a} \frac{z^i}{i!} dengan nilai a =

  • Huruf "T" adalah x_T = \sum_{i=0}^{a} \frac{z^i}{i!} dengan nilai a =

• Misalkan ingin diambil 6 huruf yang hanya menggunakan huruf "A" dan "R", maka representasi fungsi pembangkit untuk variasi ini adalah \frac{z^a}{a!}\cdot\frac{z^b}{b!} dengan a= dan b=.
• Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan mencari koefisien z dari
  penjumlahan

  perkalian
  kelima fungsi pembangkit di atas kemudian hasilnya
  dibagi

  dikalikan

  dijumlahkan
  dengan !.
• Misalnya untuk mengambil 6 huruf yang menggunakan empat dari lima huruf unik di atas (hanya satu huruf yang tidak digunakan) ada sebanyak cara.

Berapa banyaknya cara membayar sebesar 70 ribu rupiah dengan menggunakan uang nominal 10 ribuan atau 20 ribuan jika urutan tidak diperhatikan?

Ikuti langkah-langkah berikut untuk menyelesaikan permasalahan ini dengan memanfaatkan fungsi pembangkit.

• Cara mengeluarkan uang nominal 10 ribuan direpresentasikan dalam bentuk fungsi pembangkit z^{0}+ z + z + z + z +...
• Cara mengeluarkan uang nominal 20 ribuan direpresentasikan dalam bentuk fungsi pembangkit z^{0}+ z + z + z + z +...

Untuk menyelesaikan permasalahan ini, perlu dicari koefisien dari z yang berasal dari hasil 

Ada sebanyak cara untuk membayar sebesar 70 ribu rupiah dengan menggunakan uand nomial 10 ribuan atau 20 ribuan dengan tidak memperhatikan urutan mengeluarkan/membayarkan uang.

Diberikan sebuah relasi rekurensi a_n = 4a_{n-1} + 3^{n-1}, a_0=1, n\geq 1. Tentukan bentuk eksplisitnya menggunakan Fungsi Pembangkit dengan melengkapi tahap-tahap berikut.

Petunjuk umum: Hindari penggunaan spasi atau tanda kurung untuk jawaban yang bukan berupa bilangan bulat. Bentuk isian a^b dapat dituliskan dengan a^b, sedangkan bentuk a_k dapat dituliskan dengan ak.

• Mengubah relasi rekurensi ke dalam representasi deret pangkat.

\sum_{n=k}^{\infty} a_n z^n = \sum_{n=k}^{\infty} 4a_{n-1}z^n+\sum_{n=k}^{\infty}3^{n-1}z^n dengan nilai k=

• Jabarkan masing-masing suku berdasarkan nilai k yang telah ditentukan. (Petunjuk: Pada setiap bentuk [c]z^[d] berikut, c adalah koefisien dari z^d yang dapat dituliskan dalam format ai (i=0,1,2,3,...) untuk menyatakan a_i, sedangkan d adalah pangkat dari variabel z yang bersesuaian).

1. 1. \sum_{n=k}^{\infty} a_n z^n = z + z + z +... (isian berupa ai atau bilangan bulat)
   2. \sum_{n=k}^{\infty} 4a_{n-1}z^n = 4 \cdot ( z + z + z +... ) (isian berupa ai atau bilangan bulat)
   3. \sum_{n=k}^{\infty}3^{n-1}z^n = z + z + z +... (isian berupa bilangan bulat)

• Misalkan G(z)=a_0z^0+a_1z^1+a_2z^2+..., dengan memperhatikan syarat awal yang diberikan, maka kita dapat ubah bentuk i, ii, dan iii menjadi sebagai berikut.

  1. \sum_{n=k}^{\infty} a_n z^n = G(z) -  
  2. \sum_{n=k}^{\infty} 4a_{n-1}z^n = z \cdot (G(z)) 
  3. \sum_{n=k}^{\infty}3^{n-1}z^n = z( z + z + z +... ) = z/ (isian kotak terakhir ini berupa bentuk tertutup fungsi pembangkit dalam format 1-cz)

• Dari bentuk i = ii + iii diperoleh sebagai berikut.

G(z)- =  z \cdot G(z) + (z/ )

Kelompokkan G(z) ke ruas kiri dan sisanya ke ruas kanan.

G(z) ( - z) = + (z/ )

Sehingga diperoleh bentuk tertutup akhir sebagai berikut.

G(z) = ( - z)/((1-3z)(  - z)) .................... (iv)

• Lakukan dekomposisi parsial untuk menemukan A dan B sedemikian hingga dari bentuk tertutup (iv) pada baris sebelumnya dapat didekomposisi menjadi \frac{A}{(1-3z)} + (B/( - z)) dan diperoleh A=, B=

• Berdasarkan bentuk tertutup (iv) yang diperoleh serta nilai A dan B, bentuk eksplisit dari relasi rekurensi a_n = 4a_{n-1} + 3^{n-1}, a_0=1, n\geq 1 adalah a_n = A\cdot p^n + B\cdot q^n dengan p= dan q=.