Dada la siguiente función f (x) = x² – 5, calcula los máximos y mínimos relativos

a) f ’(x) = 2x

b) f ’(x) = 0, x =

c) Punto posible máximo o mínimo relativo P ( , )

d) f ”(x) =

e) f ”( ) =

Estudiar la monotonía de una función consiste en estudiar en qué intervalos la función es y en cuáles es decreciente. Los intervalos de crecimiento están separados por las de los máximos y mínimos relativos y las discontinuidades de

Una función f(x) tiene un máximo relativo en x = c si existe un intervalo abierto (a, b) tal que c ∈ (a, b) y

Una función f(x) tiene un mínimo relativo en x = c si existe un intervalo abierto (a, b) tal que c ∈ (a, b) y

Si el punto (c, f(c)) es un punto máximo o mínimo relativo de la gráfica de f(x), entonces f '(c) = , o bien f(x) no es derivable en x = c

Procedimiento para hallar los máximos y mínimos relativos

a) Se calcula la

b) Se resuelve la ecuación,

c) Se sustituyen las de f ’(x) = 0 en

d) Se halla la

e) Se sustituyen las de los posibles máximos y mínimos relativos en

si f ”(x) < 0 hay un

si f ”(x) > 0 hay un

Si f ’(x) cambia en x = c de positivo a negativo,

Si f ’(x) cambia en x = c de negativo a positivo,

Si f ’(x) no cambia de signo en x = c,

Procedimiento para hallar la monotonía.

a) Se calculan los máximos y mínimos relativos.

b) Se hallan las discontinuidades de

c) Se representan en la recta real R las de los máximos y mínimos relativos, y las discontinuidades de

d) Se prueba un punto de uno de los intervalos en la

En intervalos consecutivos, f ’(x) cambia de signo si la multiplicidad de la raíz o de su discontinuidad es

e) Se escriben los intervalos de crecimiento; son los correspondientes a f ’(x)

f) Se escriben los intervalos de decrecimiento; son los correspondientes a f ’(x)

Dada la función y su derivada:

Halla el signo de los intervalos de la 1.ª derivada para estudiar la monotonía:

a) La 1.ª derivada en el intervalo (– 2, 0) es

b) En f ’(x) la raíz x = 0 es de multiplicidad

La 1.ª derivada en el intervalo (0, 1) es

c) La discontinuidad de f ’(x) en x = 1 es de multiplicidad

La 1.ª derivada en el intervalo (1, + ∞) es

d) En f ’(x) la raíz x = – 2 es de multiplicidad

La 1.ª derivada en el intervalo (– ∞, – 2) es

Dada la función f(x) = x³/3 – kx, determina el valor de k para que la función tenga un mínimo relativo en x = 2

Observa el signo de f ’(x) y selecciona: