Diberikan sebuah relasi rekurensi a_n = 4a_{n-1} + 3^{n-1}, a_0=1, n\geq 1. Tentukan bentuk eksplisitnya menggunakan Fungsi Pembangkit dengan melengkapi tahap-tahap berikut.

Petunjuk umum: Hindari penggunaan spasi atau tanda kurung untuk jawaban yang bukan berupa bilangan bulat. Bentuk isian a^b dapat dituliskan dengan a^b, sedangkan bentuk a_k dapat dituliskan dengan ak.

• Mengubah relasi rekurensi ke dalam representasi deret pangkat.

\sum_{n=k}^{\infty} a_n z^n = \sum_{n=k}^{\infty} 4a_{n-1}z^n+\sum_{n=k}^{\infty}3^{n-1}z^n dengan nilai k=

• Jabarkan masing-masing suku berdasarkan nilai k yang telah ditentukan. (Petunjuk: Pada setiap bentuk [c]z^[d] berikut, c adalah koefisien dari z^d yang dapat dituliskan dalam format ai (i=0,1,2,3,...) untuk menyatakan a_i, sedangkan d adalah pangkat dari variabel z yang bersesuaian).

1. 1. \sum_{n=k}^{\infty} a_n z^n = z + z + z +... (isian berupa ai atau bilangan bulat)
   2. \sum_{n=k}^{\infty} 4a_{n-1}z^n = 4 \cdot ( z + z + z +... ) (isian berupa ai atau bilangan bulat)
   3. \sum_{n=k}^{\infty}3^{n-1}z^n = z + z + z +... (isian berupa bilangan bulat)

• Misalkan G(z)=a_0z^0+a_1z^1+a_2z^2+..., dengan memperhatikan syarat awal yang diberikan, maka kita dapat ubah bentuk i, ii, dan iii menjadi sebagai berikut.

  1. \sum_{n=k}^{\infty} a_n z^n = G(z) -  
  2. \sum_{n=k}^{\infty} 4a_{n-1}z^n = z \cdot (G(z)) 
  3. \sum_{n=k}^{\infty}3^{n-1}z^n = z( z + z + z +... ) = z/ (isian kotak terakhir ini berupa bentuk tertutup fungsi pembangkit dalam format 1-cz)

• Dari bentuk i = ii + iii diperoleh sebagai berikut.

G(z)- =  z \cdot G(z) + (z/ )

Kelompokkan G(z) ke ruas kiri dan sisanya ke ruas kanan.

G(z) ( - z) = + (z/ )

Sehingga diperoleh bentuk tertutup akhir sebagai berikut.

G(z) = ( - z)/((1-3z)(  - z)) .................... (iv)

• Lakukan dekomposisi parsial untuk menemukan A dan B sedemikian hingga dari bentuk tertutup (iv) pada baris sebelumnya dapat didekomposisi menjadi \frac{A}{(1-3z)} + (B/( - z)) dan diperoleh A=, B=

• Berdasarkan bentuk tertutup (iv) yang diperoleh serta nilai A dan B, bentuk eksplisit dari relasi rekurensi a_n = 4a_{n-1} + 3^{n-1}, a_0=1, n\geq 1 adalah a_n = A\cdot p^n + B\cdot q^n dengan p= dan q=.