Considere a superfície

S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\ x^2+y^2+z^2=25\ \wedge\ z\ge 1\}.

Por entre as funções seguintes, indique todas as possíveis parametrizações da superfície.

Considerem-se dois pontos A e B de \mathbb{R}^2. Designe-se por C_1 e C_2, duas curvas de A para B. Indique os campos vetoriais \vec{F} para os quais, garantidamente, 

\int_{C_1}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{C_2}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Seja C uma curva regular de \mathbb{R}^2 situada no primeiro quadrante.

A área da superfície vertical que se estende desde a curva C no plano xOy até à superfície de equação -x-y+z=9 escreve-se como

\int_C f(x,y)\,ds

onde

Sendo R, certa região do espaço \mathbb{R}^3, o integral triplo \small \iiint_R xyz\,dV escreve-se em coordenadas esféricas como \iiint_{R^*} g(\rho,\theta,\phi)\,d\rho\,d\theta\,d\phi, 

onde R^* é o conjunto R descrito em coordenadas esféricas e 

Indique o integral que coincide com \int_0^1\int_0^x f(x,y)\,dy\,dx.

Considere a superfície de equação x^2+y^2+z^2=9. Os pontos da superfície que se encontram numa vizinhança suficientemente pequena do ponto (0,3,0) só podem ser vistos como o gráfico de uma função das variáveis 

O vetor (1,3) é perpendicular à curva de equação x^2+3y^2=1 no ponto 

Num dia de calor, um estudante de AM II B, caminha sobre uma praia de areia escaldante. Os pés ardem e o estudante teme não conseguir comprar o caderno de exame sem o qual não poderá fazer o teste. Eis senão quando, caída do céu recebeu a informação da temperatura da areia em cada ponto da praia:

T(x,y)=x^2+x+y+e^{x^2+y^2} é a temperatura em (x,y).

O estudante, que se encontrava na posição (1,2), fez uns cálculos e, para evitar queimar-se na areia, imediatamente caminhou segundo o vetor

Considere a função de duas variáveis reais f(x,y)=\arctan (xy). Indique a(s) afirmação(ões) verdadeira(s).

Sabe-se que certa função f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R} verifica

f(x,x)=3\sqrt{2}\,x para qualquer x\in\mathbb{R}.

Determine f'_{\vec{u}}(0,0), sendo \vec{u} o vetor unitário \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).